اثر پی دلتا (P-Δ) و تاثیر آن بر سازه

دسته بندی : مقاله ها 13 / 09 / 1400 نویسنده : East Omran 4.76k بازدید

1- تعریف اثر پی دلتا P-Δ

اثر P-Δ یکی از مفاهیمی است که اکثر مهندسین عمران درک درستی از آن ندارند و از آنجایی که این مطلب در کارهای نرم افزاری به سادگی قابل اعمال روی سازه می باشد بسیاری از مهندسین هیچگاه به دنبال یادگیری مفاهیم بنیادی آن نرفته اند. ما در این مقاله قصد داریم در خصوص اثر P-Δ و تاثیرات آن در سازه با شما صحبت کنیم.

اثر P-Δ در هر طبقه بدلیل برون محوری بارهای ثقلی طبقات بالای طبقه i (طبقه مورد نظر) ایجاد می گردند. فرض کنید ستونی داریم که تحت نیروی محوری (بار ثقلی) P و (نیروی جانبی) V قرار گرفته است. در صورتی که پای این ستون (تکیه گاه B) گیردار باشد لنگری به اندازه M_B=V×L در پای آن ایجاد می شود و طبیعتاً می دانیم که در این شرایط نیروی محوری P هیچ لنگری در تکیه گاه B ایجاد نمی کند.

از طرفی زمانی که نیروی جانبی به سازه وارد می شود تغییر شکلها و جابجایی های جانبی در سازه به وجود می آید. بنابراین در این ستون تحت نیروی جانبی V تغییر مکانی به اندازه ∆ در بالای ستون ایجاد می شود. بنابراین اگر تغییر شکل جانبی سازه را در نظر بگیریم لنگری که در پای ستون ایجاد می شود تغییر کرده و لنگر تکیه گاه B برابر می‌شود با:

در بحث تحلیل و طراحی سازه ها لنگر حاصل از نیروی جانبی یعنی V ×L را لنگر اصلی یا اولیه و لنگر حاصل از نیروی محوری یعنی PΔ را لنگر ثانویه یا اثر PΔ می نامند.نسبت لنگر ثانویه یعنی PΔ به لنگر اولیه یعنی V ×L را شاخص پایداری طبقه می نامند.

نکته:

اثرات P-Delta یا همان آثار مرتبه دوم به دو صورت در المان های سازه ای بوجود می آیند حالت اول که به آن پی دلتای بزرگ PΔ گفته می شود همین لنگر اضافه ای است که در اثر تغییر مکان جانبی سازه بوجود می آید . حالت دوم پی دلتای کوچک Pδ است که در اثر تغییر در سختی های خمشی و برشی عضو (شکم دادن و انحنا در عضو) بوجود می آید این انحنا بدلیل تاثیر نیروی محوری در عضو بوجود می آید. در این مقاله ما در مورد اثر پی دلتای بزرگ PΔ صحبت می کنیم.

نکته مهمی که باید مورد توجه قرار گیرد این است که پارامتر ∆ که در محاسبه لنگر ثانویه استفاده می شود عملاً بیانگر تغییر مکان جانبی نسبی می باشد. [در مقاله ای تحت عنوان دریفت در سازه] انواع تغییر مکان های سازه به لحاظ لغوی بررسی شده است و بسیار در دید مهندسی می تواند تاثر گذار باشد توصیه میکنم این مقاله را مطالعه بفرمایید.

شاید در ذهن این سوال ایجاد شود که با توجه به اینکه Δ عدد کوچکی است لنگر ثانویه یا PΔ عدد بزرگی نمی شود پس چرا باید در محاسبات لحاظ کنیم؟

در پاسخ به این پرسش باید گفت که در سازه های بزرگ گاهی مواقع اثر PΔ می تواند تاثیر زیادی بر نتایج طراحی بگذارد مثلاً در سازه شکل زیر ، لنگری که در پای ستون طبقه دوم وارد می شود حاصل از برش وارد بر این طبقه و نیروی محوری طبقات بالای آن می باشد.

نیروی برشی طبقه دوم برابر V₂=F₂+F₃و مجموع نیروی محورهای ستون های آن برابر P=P₂+P₃می باشد بنابراین هرچه سازه بزرگتر باشد اثرات PΔ بیشتر خودنمایی می کند.

با توجه به مطلب گفته شده و مثال فوق ،اگر تحلیل سازه را بدون در نظر گرفتن اثر PΔ انجام دهیم لنگر پای ستون ها کمتر از مقدار واقعی به دست می آید. از طرفی می دانیم که لنگر در یک ستون باعث چرخش آن می شود و عامل ایجاد تغییر مکان های جانبی لنگر می باشد. پس می‌توان نتیجه گیری کرد که تغییر مکان های جانبی در صورتی که اثر PΔ در محاسبه لنگر ها لحاظ نشود از مقدار واقعی خود کمتر به دست می آیند.

از جمع بندی مطالب ارائه شده تا به اینجا به یک نکته مهم میرسیم. اثر PΔ بر روی لنگرها و تغییر مکان های سازه تاثیر دارد بنابراین در محاسبات هرجایی که عضوی با لنگر طراحی می‌شود (مثل ستون ها) و یا تغییر مکانی کنترل می شود (مثل دریفت) اثرات PΔ باید لحاظ شود و یا تاثیر آن به نحوی در محاسبات لحاظ گردد.

۲- رویکرد استاندارد ۲۸۰۰ در موضوع اثر PΔ

مطابق استاندارد ۲۸۰۰ ویرایش چهارم برای بررسی اثر PΔ در سازه و اهمیت اثر آن (در نظر گرفتن یا در نظر نگرفتن این اثر در سازه) از پارامتری به نام شاخص پایداری استفاده می کند که در ابتدای مقاله با مفهوم آن آشنا شدیم. نحوه محاسبه این پارامتر و لزوم به کارگیری آنرا در چارت زیر که برگرفته از فلوچارت استاندارد ۲۸۰۰ تالیف گروه ایست می باشد مشاهده می کنید.

توجه شود که شاخص پایداری برای هر طبقه به صورت جداگانه باید محاسبه گردد.

برای منظور نمودن اثر PΔ در سازه ها می توان این اثر را همراه سایر عوامل در تحلیل سازه در نظر گرفت و نیروهای داخلی اعضا را به دست آورد.یک روش تقریبی برای اعمال اثرات PΔ استفاده از ضریب افزایش نیروها و جابجایی ها می باشد این ضریب که در استاندارد 2800 بصورت $\frac{1}{1-\varphi _{i}}$ ارائه شده است (اثبات ضریب $\frac{1}{1-\varphi _{i}}$ در پیوست سوم استاندارد 2800 ویرایش چهارم ارائه شده است) نیروهای وارد بر اعضا و تغییرمکانها را افزایش می دهد.

$M_{ip\Delta }=M_{i}\left ( \frac{1}{1-\varphi _{i}} \right )$ $V_{ip\Delta }=V_{i}=\left ( \frac{1}{1-\varphi _{i}} \right )$ $\overline{\Delta }_{eui}=\Delta _{eui}\left ( \frac{1}{1-\varphi _{i}} \right )$

در روابط فوق لنگر افزایش یافته و برش افزایش یافته و تغییرمکان افزایش یافته با اعمال اثرات P-Δ می باشد.در ادامه در مورد اعمال دستی اثرات P-Δ در محاسبات بیشتر صحبت خواهیم کرد. البته اعمال اثرات P-Δ در نرم افزارهای محاسباتی مثل ETABS بسیار ساده می باشد و تحلیل های بسیار دقیق تری بر روی آثار انجام می گیرد. نکته ای که لازم است در اینجا به آن اشاره کرد این است که برای اعمال اثرات لازم است نیروهای وارد بر سازه (ثقلی ، جانبی) به نحو مناسبی با یکدیگر ترکیب شوند تا بحرانی ترین حالت بدست آید. [بررسی این موضوع و نحوه اعمال اثرات در نرم افزار ETABS 16.2.1 در این ویدئو بصورت کامل بیان شده است].

همانطور که گفتیم می توان با روش های تقریبی اثر را در محاسبات دستی هم وارد کرد. دو نمونه از نحوه اعمال اثر در محاسبات را به صورت خلاصه در اینجا ارائه می نماییم.

همانطور که در بخش قبل اشاره کردیم نسبت لنگر ثانویه به لنگر اولیه ملاکی است که نشان می دهد اثر در نتایج تحلیل سازه حائز اهمیت است یا خیر؟ و اساساً شاخص پایداری هم با همین رویکرد در استاندارد ۲۸۰۰ بیان شده است:

$\varphi _{i}=\frac{P\Delta }{Vh}=\frac{\left ( P_{u}\Delta_{eu} \right )_{i}}{\left ( Vh \right )_{i}}$

با استفاده از همین تعریف نظر شما را به دو مورد زیر جلب می کنم:

1-2- اثر P-Δ و تاثیر آن بر تغییر مکان های جانبی

همان طور که پیش تر بیان کردیم لنگر ثانویه (PΔ) باعث افزایش لنگر پایه ستون ها می شود و در نتیجه تغییر مکان های جانبی ستون ها تحت تاثیر این موضوع افزایش می یابد. بنابراین دو نوع تغییر مکان برای سازه می توان متصور شد .

۱- محاسبه تغییر مکان بدون اثرPΔ

۲- محاسبه تغییر مکان با اثر PΔ

از طرفی تغییر مکان هایی که در سازه اندازه گیری می شود برمبنای خطی بودن تغییر مکان یا غیر خطی بودن آن دسته بندی می شود. مثلاً اگر تغییر مکان کل ، در یک سازه که از پای ستون در تراز پایه اندازه گیری میشود را Δt بنامیم این پارامتر یک تغییر مکان خطی می باشد. یا اگر تغییر مکان یک طبقه را نسبت به طبقه زیرین خود اندازه گیری کنیم تغییر مکان جانبی نسبی در زلزله طرح Δ_eu که یک تغییر مکان خطی می باشد به دست می آید.

مطابق استاندارد ۲۸۰۰ ضریب C_d که در جدول 4-3 برای انواع سیستم های سازه ای مقدار آن بیان شده است جهت لحاظ نمودن اثرات رفتار غیر خطی مصالح استفاده می شود. با توجه به این موضوع پارامتر جدیدی تحت عنوان تغییر مکان جانبی واقعی زلزله طرح در طبقه Δ_M تعریف می شود.

$\Delta _{M}=C_{d} \Delta _{eu}$

این پارامتر بیانگر یک تغییر مکان غیر خطی می باشد.

حالا اگر اثر PΔ را در این تغییر مکان ها لحاظ کنیم مقدار تغییر مکانها افزایش می یابد . در واقع برای لحاظ نمودن اثر PΔ در تغییر مکان ها آیین نامه از ضریب افزایشی $\frac{1}{1-\varphi _{i}}$ استفاده می کند و با ضرب این عبارت در مقدار هرکدام از تغییر مکان ها (Δ_M-Δ_t-Δ_eu) پارامتر جدیدی تعریف می شود که در آن اثر PΔ لحاظ شده است.

$:\overline{\Delta} _{eu}$ تغییر مکان جانبی زلزله طرح در طبقه با اثر $P-\Delta$ $\overline{\Delta} _{eu}=\frac{1}{1-\varphi _{i}}\times \Delta _{eu}\leftarrow$

$:\Delta _{t}$ تغییر مکان جانبی کلی در طبقه با اثر $P-\Delta$ $\overline{\Delta} _{t}=\frac{1}{1-\varphi _{i}}\times \Delta _{t}\leftarrow$

$:\overline{\Delta} _{M}$ تغییر مکان جانبی واقعی زلزله طرح در طبقه با اثر $P-\Delta$ $\overline{\Delta} _{M}=\frac{1}{1-\varphi _{i}}\times \Delta _{M}\leftarrow$

2-2- اثر P-Δ و تاثیر آن بر طراحی ستون های بتنی

در طراحی ستون ها یکی از نیروهایی که باعث شکست ستون می شود لنگر است. در ابتدای صحبت بیان کردیم که لنگر ثانویه که حاصل از نیروی محوری M_B2=P×Δ است به لنگر اولیه که بر ستون اثر می کرده است اضافه می شود M_B1=V×L و حاصل جمع این دو لنگر باعث شکست ستون میشود در شرایطی که لنگر ثانویه بیش از ۵ تا ۱۰ درصد از مقاومت ستون بکاهد ستون را لاغر می نامند و در بررسی این ستونها لازم است اثرات کاهش مقاومت ستون به جهت ایجاد لنگر ثانویه منظور شود. [نحوه طراحی ستونهای لاغر در فلوچارت بتن تالیف گروه ایست در فصل هفتم به صورت کامل ارائه شده است در اینجا به صورت مختصر جهت آشنایی بیشتر نکاتی خدمت شما ارائه می گردد.]

مطابق بند ۹-۶-۵ مبحث ۹ ویرایش ۱۳۹۹ رفتار قاب های ساختمانی یا مهار شده می باشد یا مهار نشده. آیین نامه با تعریف عبارت $\small \frac{KL_{u}}{r}$ که به آن ضریب لاغری گفته می شود بیان می کند که هر چه ضریب لاغری ستونی بیشتر باشد احتمال کمانش ستون بیشتر می شود و در نتیجه تاثیر PΔ هم بر ستون افزایش می یابد بنابراین با مقایسه عبارت $\small \frac{KL_{u}}{r}$ با حدود مرزی در هر یک از قاب های مهار شده یا مهار نشده لزوم در نظر گرفتن اثرات PΔ را در سازه بررسی می نماید ‌.

در شرایطی که ستون از نظر آیین نامه لاغر محسوب شود لازم است تا با روش هایی اثرات لاغری (همان اثر PΔ ) را در طراحی عضو در نظر بگیریم. یکی از این روشها روش تشدید لنگر می باشد. مثلاً در قابهای مهار شده در روش تشدید لنگر با ضرب نمودن عبارت δ_b (ضریب تشدید لنگر) در لنگر وارده بر ستون لنگر بزرگتری برای طراحی ستون به دست می آید. (δ_b بزرگتر از یک میباشد) در نتیجه ستونی که در این مرحله محاسبه می شود برای نیروهای بزرگتری طراحی می شود و در این شرایط اثرات PΔ یا همان لاغری در آن در نظر گرفته شده است.

$:\delta _{b}$ ضریب تشدید لنگر $:M_{2}$ لنگر بزرگتر وارد بر ستون $\delta _{b}=\frac{C_{m}}{1-\frac{P_{u}}{0.75P_{c}}}\geq 1$ و $M_{c}=\delta _{b}M_{2}$